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Was ist partielle Integration? Bearbeiten

Mittels partieller Integration lässt sich auf umständliche und außerordentlich nervige Art und Weise die Stammfunktion komplizierter Funktionen ermitteln.


Die Regel Bearbeiten

$ \int u' \cdot v \,dx= u \cdot v - \int u \cdot v' \,dx $

$ u' $ muss hochgeleitet werden, somit ist es clever an dieser Stelle eine Teilfunktion für $ u $ zu verwenden, die sich leicht hochleiten lässt.

$ v $ muss abgeleitet werden, somit wäre es clever an dieser Stelle eine Teilfunktion für $ v $ zu verwenden, die sich leicht ableiten lässt.


Partielle Integration am Beispiel Bearbeiten

Mittels partieller Integration lässt sich zum Beispiel die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus $ ln(x) $ ermitteln.

$ \int u' \cdot v \,dx= \int \ln(x) \,dx= \int 1 \cdot ln(x) \,dx $

Wir wählen für $ u' $ 1, weil sich die 1 sehr gut hochleiten lässt, wohin gegen der $ \ln $ ja unser Problem darstellt, aber sich wunderbar ableiten lässt, daher wird $ v $ diese Funktion.

$ u'=1 $

$ v=ln(x) $

Leiten wir nun hoch bzw. ab erhalten wir:

$ u=x $

$ v'=\frac{1}{x} $

Die Ableitung des Terms ist nun also:


$ \int u' \cdot v\,dx= u \cdot v - \int u \cdot v' \,dx= ln(x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx $

$ =ln(x) \cdot x - \int 1\,dx $

Was 1 hochgeleitet ist, haben wir im letzten Schritt schon festgestellt. Folglich ist die Ableitung:

$ \int 1 \cdot ln(x) \,dx=ln(x) \cdot x - x +C $

C steht hierbei für einen Summanden der beim Ableiten wegfällt. Daher ist für beliebiges C die zur Stammfunktion gehörnede Grundfunktion gleich.

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