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Ableitungsregeln Bearbeiten

An dieser Stelle befindet sich eine Liste von Regeln, die hilfreich zum Ableiten von Funktionen sind.



Produktregel Bearbeiten

Die Produktregel kann verwendet werden, um eine Funktion abzuleiten, in dem man sie in Teilfunktionen aufteilt.

$ f(x)=u(x) * v(x) $

$ f'(x)=u(x)*v'(x)+u'*v $


Beispiel:

$ f(x)=3x^2*5x $

$ u(x)=3x^2 $

$ u'(x)=6x $

$ v(x)=5x $

$ v'(x)=5 $


$ f'(x)=3x^2*5+6x*5x $

$ f'(x)=15x^2+ 30x^2 $

$ f'(x)=45x^2 $


Natürlich hätte man die Funktion auch vor dem Ableiten ausmultiplizieren können, das Ergebnis wäre das selbe gewesen, jedoch ist dies manchmal nicht möglich. Das Beispiel dient nur der Veranschaulichung der Anwendung der Benutzung der Produktregel.



Kettenregel Bearbeiten

Die Kettenregel dient dazu, um verschachtelte Funktionen abzuleiten. Die Regel hierfür lautet in Worten: Äußere mal innere Ableitung

$ f'(x)=u'(v)*v'(x) $


Beispiel:

$ f(x)=(x^2+3)^2 $

man setzt die Klammer $ (x^2+3)= v $

=>

$ u(v)=v^2 $

$ u'(v)=2v $

$ v(x)=x^2+3 $

$ v'(x)=2x $


$ f'(x)=2(x^2+3)*2x $

$ f'(x)=4x^3+12x $


Quotientenregel Bearbeiten

Die Quotientenregel dient dazu, um gebrochene Funktionen abzuleiten.

$ f'(x)=\frac{u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)}{v(x)^2} $


Beispiel:

$ f(x)=\frac{x^2+2}{3x^2} $

$ u(x)=x^2+2 $

$ u'(x)=2x $

$ v(x)=3x^2 $

$ v'(x)=6x $

$ f'(x)=\frac{2x*3x^2-(x^2+2)*6x}{(3x^2)^2} $

$ f'(x) =\frac{6x^3-12x^3-12x}{(3x^2)^2} $

$ f'(x) =\frac{-6x^3-12x}{(3x^2)^2} $

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